excuseは「弁解する、許せ」だから、excuse meは「我に弁明せしめよ、我を許せ」であり、sorryは「気の毒、後悔、残念」だから、I'm sorryは「私は残念に思う、遺憾である」に近い。だから、I'm sorryは、相手を慰める時にも使えるから「お気の毒に」などとも訳せる。つまり、どちらも厳密には「すみません」と謝罪しているわけではない。英国人は謝罪などしないのである。
それが英国人というものだろう。だから「Rule Britania! She never be a slave」なのである。

（以下引用）

こちらに非があることを認めるときは、I’m sorry.を使います

今月は「～のときはどう表現すればいい？」という質問が多く寄せられました。今回は、そのうちの３つにお答えします。まずは、I'm sorry.とExcuse me.の違いから。
　I'm sorry.は、こちらに非があることを認めて謝るときや、相手に対して失礼があった場合に使います。Excuse me.は、中座したり、人の前を横切ったり、軽く体が触れてしまったりしたときに、「ちょっと失礼」「あらっ、失礼」という感じで使います。よって、テレビを見ている人の前を通るときは、Excuse me.が適切です。前を通ったときに相手の見たかったシーンがちょうど隠れてしまった、などという場合は、I'm sorry.が適切です。